After the midterm – Cauchy–Euler, reduction of order, series solutions, Laplace, convolution theorem

Cauchy-Euler denkleminin çözülmesi

Bu denklemin de karakteristik denklemi

Özel çözüm bulunur

ve daha sonraki adımda

u'=v dönüşümüyle denklemin mertebesi düşer. Böylece (n-1) . mertebe denklem elde edilir

Eğer x=x_0 noktasında f(x) fonksiyonunun taylor serisi x_0 noktasının civarında yakınsaksa ve yakınsak olduğu fonksiyon f(x) 'e eşitse, `` f(x) fonksiyonu x_0 noktasında analitiktir'' denir.

2. mertebeden lineer ve homojen diferansiyel denklem verilsin.

Eğer, p(x) ve q(x) katsayıları bir x_0 noktasında analitik olurlarsa x_0 noktasına denklemin adi noktası denir.

Eğer, p(x) ve q(x) fonksiyonlarından birisi veya herikisi x_0 noktasında analitik değillerse, x_0 noktasına denklemin ``tekil (singüler) noktası'' denir.

Eğer x=x_0 noktası denklemin adi noktası olursa, bu durumda denklemin her çözümü bir |x-x_0|<r (r>0) aralığında yakınsak olan

Adi nokta civarında çözüm yolu

Denklemi normal forma dönüştür yani

Bir adi nokta x_0 olarak seçilir.

katsayılarını bulmak için türevleri alıp, denklemde (ilk denklem) yerine yazarız.

(Not x_0≠ 0 dan ise x-x_0=t denilerek çözüme ulaşılır böylece daha kolay olur)

katsayılar bulunduktan sonra serinin birkaç terimini yazarız

Başlangıç değer problemi ise başlangıç koşulları koyulup kalan katsayılar bulunur

t=x-x_0 koyulur ve y(x) bulunur

vererek iki temel çözüm bulunur

ve çözüm bunların lineer kombinasyonudur

Eğer x=x_0 denklemin bir tekil noktasıysa ancak (x-x_0)p(x) ve (x-x_0)^2q(x) fonksiyonları x=x_0 noktasında analitik fonksiyonlar olursa x=x_0 noktasına denklemin ``regular tekil noktası'' denir.

Eğer x=x_0 noktası denklemin regular tekil noktası olursa bu nokta civarında denklemin

genelleştirilmiş kuvvet serisi şeklinde çözümü var oluyor.

Genelleştirilmiş kuvvet serisi yardımıyla çözüm yapılırken öncelikle

denkleminden r_1 ve r_2 bulunur.

Bu denkleme x=0 regüler tekil noktası için ``indis denklemi'' denir.

Daha sonrasında aşağıdaki durumlar geçerli olur

(2) ve (3) durumlarında y_2(x) çözümleri y_1(x) çözümü bilindikten sonra mertebe düşürmekle elde edilir

Bir f(x) , x>0 fonksiyonu verilmiş olsun. Bu durumda,

integrali tanımlı ise bu F fonksiyonuna f 'in Laplace dönüşümü denir.

``geçiş fonksiyonu'' denir.

Birim basamak fonksiyonun

geçiş fonksiyonu için

Bazı fonksiyonların Laplace dönüşümleri aşağıdaki gibidir

Eksponsiyonel dereceli ve her 0≤ x≤ b aralığında parçalı sürekli f ve g fonksiyonlarının konvolusyonu

integrali ile belirlenmiş f*g fonksiyonuna denir.

Eğer f ve g fonksiyonları e^at exsponansiyonel dereceli ve her 0≤ x≤ b aralığında parçalı sürekli iki fonksiyon olursa, o halde f*g konvolüsyonun Laplace dönüşümü