Week 2 Recitation (session 3) – Linear, Bernoulli and Riccati equations

Lineer Denklemler: y' + a(x)y = b(x) şeklindeki denklem ``1. mertebeden lineer denklem'' olarak adlandırılır. İntegrasyon çarpanı yöntemi ile rahat bir şekilde çözülebilir. Verilen lineer denklem için,

fonksiyonuna integrasyon çarpanı denir. Denklemin her tarafını I(x) ile çarparak diferansiyel denklem çözülür.

Berneulli Denklemi: y' + a(x)y = b(x)y^n , n ≠ 0,1 ; n R şeklindeki denkleme ``Berneulli denklemi'' denir. Öncelikle, her tarafı y^-n ile çarparak, daha sonra z = y^1-n dönüşümü yaparak denklemi lineer denklem formuna dönüştürürüz.

Riccati Denklemi: y' + a(x)y + b(x)y^2 = c(x) şeklindeki denkleme ``Riccati denklemi'' denir. Denklemin bir özel çözümü y_1(x) biliniyorsa, y = y_1(x) + z ; z = z(x) dönüşümü ile denklem Berneulli denklemine indirgeniyor.

a(x) = 2x ve b(x) = x^3 olmak üzere bu bir lineer denklemdir. Öncelikle integrasyon çarpanını bulmalıyız.

Şimdi, her tarafı e^x^2 ile çarpalım.

Öncelikle integrasyon çarpanını bulmalıyız.

Şimdi, her tarafı e^x^3 ile çarpalım.

Şimdi, y(0) = 2 başlangıç koşulunu sağlayan çözümü bulalım.

başlangıç değer problemini çözünüz.

Öncelikle integrasyon çarpanını bulmalıyız.

Şimdi, her tarafı e^x+1 ile çarpalım.

Şimdi, y(0) = 4 başlangıç koşulunu sağlayan çözümü bulalım.

başlangıç-değer problemini çözünüz. (ÖDEV)

a(θ) = θ ve b(θ) = ^2θ olmak üzere bu bir lineer denklemdir. Öncelikle integrasyon çarpanını bulmalıyız.

Şimdi, her tarafı 1θ ile çarpalım.

denklemini çözünüz. (ÖDEV)

olmak üzere bu bir lineer denklemdir. Öncelikle integrasyon çarpanını bulalım.

Her tarafı x^2 ile çarpalım

Şimdi, y(1) = 2 koşulunu sağlayan çözümü bulalım.

y' + xy = xy^2 denklemini çözünüz.

Bu bir Berneulli denklemidir. Öncelikle her tarafı y^-2 ile çarpalım.

a(x) = -x ve b(x) = -x olmak üzere bu bir lineer denklemdir. Öncelikle integrasyon çarpanını bulalım.

Şimdi, her tarafı e^-x^22 ile çarpalım.

dydx + y^2 - y = 2 diferansiyel denkleminin bir özel çözümü y_1(x) = 2 olduğu biliniyor. Diferansiyel denklemi çözünüz.

Bu bir Riccati denklemidir ve y = 2 + z dönüşümü yapılır.

Her tarafı z^-2 ile çarpalım.

a(x) = -3 ve b(x) = 1 olmak üzere bu bir lineer denklemdir.

Öncelikle integrasyon sabitini bulalım.

Şimdi, her tarafı e^-3x ile çarpalım.

Kaybolan çözüm: dir. Bu denklemi çözünüz. (ÖDEV)