Lecture 12 – Laplace transform

Laplace transformu, x(t)e^-σ t şeklinde x(t) işaretinin bir reel üstel işaret ile çarpımının Fourier transformudur.

⇒ Yakınsaklık bölgesi (Region of convergence, ROC): Laplace transform integralinin yakınsadığı s değer aralığına yakınsaklık bölgesi denir.

⇒ Aynı noktada tekrar eden s sayısına mertebe denir.

Paydada, s=-1 ve s=2 olmak üzere birinci mertebeden iki adet kutup ve payda s=1 'de ikinci mertebeden bir adet sıfır vardır.

Not: Laplace transformunun ROC'u jω eksenini içermiyorsa Fourier transformu yakınsamaz.

13e^2tu(t) ifadesinin Fourier transformu yoktur.

Yakınsama bölgesi (ROC) özellikleri

X(s) 'in ROC'u s -düzlemindeki jω eksenine paralel şeritlerden oluşur.

Rasyonel Laplace transform için, ROC herhangi bir kutup içermez.

x(t) sonlu süreli ve mutlak entegre edilebilir ise, ROC bütün s düzlemidir.

→ Re\=σ=0 iken s=jω olup ROC içinde kalır.

-düzlemi ROC içinde kalır.

3)'e göre ROC bütün s düzlemi

2)'e göre ROC kutup içermez, s=-a kutup var.

x(t) sağ yönlü ve Re\=σ_0 doğrusu ROC'da ise, Re\>σ_0 için bütün s değerleri de ROC'da olur.

x(t) sol yönlü ve Re\=σ_0 doğrusu ROC'da ise, Re\<σ_0 için bütün s değerleri de ROC'da olur.

x(t) çift yönlü ve Re\=σ_0 doğrusu ROC'da ise, ROC, s düzleminde Re\=σ_0 doğrusunu içeren bir şeritten oluşur.

X(s) rasyonel ise, ROC, ya kutuplarla sınırlıdır ya da sonsuza genişler ve kutup içermez.

→ x(t) sağ yönlü ise, ROC, en sağdaki kutubun sağında kalan s düzlemidir.

→ x(t) sol yönlü ise, ROC en soldaki kutubun solunda kalan s düzlemidir.

Ters Laplace Transform

Laplace Transformunun Özellikleri

Zamanda ölçeklendirme: 'yi içerir.

ROC ile LTI sistemlerin özelliklerinin analizi

Nedensellik: h(t)=0, t<0 sağ yönlü ROC sağ yönlü

Kararlılık: eksenini içermelidir.