Lecture 13 – z-transform

⇒ Yakınsama bölgesi (region of convergence): z-transform toplamının yakınsadığı z değer aralığıdır.

Not: z-transformunun ROC'u birim çemberi içerirse Fourier transformu yakınsar.

Reminder: 'nin Fourier Transformu yoktur.

Yakınsaklık bölgesi (ROC) özellikleri

X(z) 'nin ROC'u z -düzleminde orijin merkezli bir halkadan oluşur.

ROC, herhangi bir kutup içermez.

x[n] sonlu süreli ise, ROC, olasız=0 ve/veya z=∞ değerleri dışında bütün z -düzlemidir.

z=0 'da bir kutup var.

ROC, z=∞ içeren, z=0 dışında bütün z -düzlemidir.

z=∞ 'da bir kutup vardır.

ROC, z=0 içeren, z=∞ dışında bütün z -düzlemidir.

x[n] sağ yanlı ve |z|=r_0 çemberi ROC'da ise, |z|>r_0 sağlayan sonlu bütün z değerleri de ROC'da olur.

→ sağ yanlı x[n] 'nin ROC'u içi bir çember ile sınırlanmış, sonsuza doğru genişleyen (sonsuzu içerebilir) bir bölgedir.

x[n] sol yanlı ve |z|=r_0 çemberi ROC'da ise, 0<|z|<r_0 sağlayan bütün z değerleri de ROC'da olur.

→ sol yanlı x[n] 'nin ROC'u dışı bir çember ile sınırlanmış, orijine doğru genişleyen (orijini içerebilir) bir bölgedir.

x[n] iki yanlı ve |z|=r_0 çemberi ROC'da ise, ROC, z -düzleminde |z|=r_0 çemberini içeren bir halkadır.

X(z) rasyonel ise, ROC, ya kutuplarla sınırlıdır ya da sonsuza genişler ve kutup içermez.

→ x[n] sağ yönlü ise, ROC, en dıştaki kutubun dışındaki z -düzlemidir.

→ x[n] sol yönlü ise, ROC, en içteki sıfırdan farklı kutubun içindeki z -düzlemidir.

: r yarıçaplı, orijin merkezli, saat yönünün tersinde kapalı dairesel bir kontur etrafında alınan integrali gösterir.

Lineerlik: eklenebilir/çıkabilir)

ROC ile LTI sistemlerin özelliklerinin analizi

Nedensellik: h[n]=0, n<0 sağ yanlı ROC sağ yanlı

H(z) rasyonel ise paydanın derecesi > payın derecesi olmalıdırClaude notu: muhtemelen ≥ olmalı; dereceler eşitken de z→∞ için H(z) sonlu kalır (aşağıdaki örnekte pay ve payda dereceleri eşittir ve |z|>2 için sistem nedenseldir). (aksi durumda z→∞ , H(z)→∞ gider)

Kararlılık: ROC, birim çemberi içermelidir.

birer kutup vardır.

SORU: Fark denklemi: y[n]-12y[n-1]=x[n]-2x[n-1]+x[n-2] olarak verilen LTI sistemin transfer fonksiyonu H(e^jω) 'yı bulun.

h[n]=δ[n]-δ[n+1] ise sistemin birim basamak cevabı nedir?

Reminder: ifadesinin FS katsayısını bulunuz.

x(t)=sinc(t) işaretinin enerjisini ve gücünü bulunuz.

h(t)=e^2tu(t) , Kararlılık ve nedensellik?