Differential Equations – Weeks 4–6 – Physical problems, existence–uniqueness, Picard, Wronskian, constant-coefficient equations

Weeks 4–6 – Physical problems, existence–uniqueness, Picard, Wronskian, constant-coefficient equations

Diferansiyel Denklemler – 4.–6. Hafta – Fizik problemleri, varlık-teklik, Picard, Wronskiyen, sabit katsayılı denklemler

Notice: The digital notes were created from the handwritten notes with the help of Claude (Anthropic); they are meant as a supplementary resource and may contain errors. Always rely on the original notes and the official course materials.

What is in this note?

Section headings of the note (in Turkish):

Mekanik ve fizik problemlerinin Diferansiyel Denklemlere dönüştürülerek çözülmesi

(1) Newtonun ikinci kuralı

(2) Oran problemleri (Radyoaktif parçalanma ve popülasyon)

(3) Karışım problemleri

Soğuma Problemleri

Varlık ve teklik

(Varlık ve teklik teoremi)

Picard yaklaşımı

Wronskiyen nedir

Abel's teoremi

2. derece sabit katsayılı homojen çözümündeki kurallar

Text of the note

Show as plain text (Turkish; formulas and drawings are not included)

Mekanik ve fizik problemlerinin Diferansiyel Denklemlere dönüştürülerek çözülmesi

(1) Newtonun ikinci kuralı:

(2) Oran problemleri (Radyoaktif parçalanma ve popülasyon)

t yıl sonra radyoaktif madde miktarı x = x(t) olursa, onun parçalanma hızı dx(t)dt dir.

Parçalanma hızı, radyoaktif maddenin miktarı ile doğru orantılıdır yani:

( x → [parçalanmadan kalan madde miktarı])

Popülasyon artımı için

V(t) t anındaki karışımın hacmi

x(t) t anındaki tanktaki tuzun kütlesi

birim zamanda giren tuzun miktarını hesaplarız

herhangi bir anda kaptaki karışımın hacmini buluruz

tuzun miktarını 2. de bulduğumuz hacime bölerek litre başına düşen tuzu buluruz

hızla çarparak çıkan tuzu hesapla

sonra denklemi kurarız

başlangıç koşulu x_0 belirlenir ve denklem çözülür

T_e = onu çevreleyen ortamın sıcaklığı

Cismin sıcaklığının zamanla değişimin hızı

Varlık ve teklik

D^2 bölgesinde verilmiş f(x,y) fonksiyonu (x,y_1) ve (x,y_2) D için

eşitsizliğini sağlayacak bir L>0 sabiti bulunursa, f(x,y) y değişkenine göre

Lipschitz koşulunu sağlar. (tek)

O halde f(x,y) fonksiyonu Lipschitz koşulunu sağlar.

f(x,y) D bandından sürekli ise → çözüm var

f(x,y) D '' y 'ye göre lipschitz koşulunu sağlarsa → tek

n . Picard yaklaşımının hata payı şu şekilde hesaplanır

M : f(x,y) için üst sınır

2. derece sabit katsayılı homojen çözümündeki kurallar

denklemin kökleri olmak üzere

bu kurallar genişletilerek yüksek mertebeli homojen dif denklemlerde kullanılır