Week 1 – Introduction to differential equations (theory)

x serbest değişken, y=y(x) ona bağlı bir fonksiyon ve bu fonksiyonun y',y'', y^(n) arasındaki

şeklindeki denklemlere adi diferansiyel denklem denir.

eğer F fonksiyonu y ve onun türevlerine göre yani (y',y'',,y^(n)) lineer olursa bu durumda (1) 'e lineer adi dif denklem denir

Örneğin: 1. mertebeden lineer adi diferansiyel denklem en genel şekli

2. mertebeden lineer adi dif den en genel şekli

1. mertebeden dif denk en genel halde elde edilir.

Eğer bu denklem y 'nin türevine göre çözülebiliyorsa y'=f(x,y) şeklinde yazılabiliyorsa 1. mertebeden açık adi dif denk denir.

Eğer y=(x) fonksiyonu I=(α,β) aralığında n . mertebeden sürekli türevlere sahip ve her x I için

sağlıyorsa, bu durumda y=(x) fonksiyonu I aralığında (1) denkleminin çözümüdür.

Örneğin: y = x + 12 fonksiyonu I aralığında

(1) denklemini (x,y)=0 şeklindeki kapalı fonksiyon çözümüne onun integrali denir.

En basit adi dif denklemler;

Eğer f(x) fonksiyonunun ilkelleri F(x)+c , c= sabit ise o halde bu denklemin çözümü

Not: bir adi dif denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır.

Burada G(y) fonksiyonu 1f(y) 'nin ilkelidir

denklemi sağladıkları için çözümdür

1.21.2 Cauchy Problemi (veya başlangıç değer problemi)

x_0 , y_0 değerlerine başlangıç verileri, (2b) 'ye başlangıç koşulu denir.

Şimdi: y'=f(x,y) , dydx=f(x,y) denklemi için bazı çözüm yöntemleri belirleyelim

denk denklemine dönüşür

ayrılabilir denklemler denir.

elde edilir. Bu eşitliği integrallersek

elde edilir ki bu da ayrılabilir dif denk çözümüdür

M_2(y)=0 , N_1(x)=0 olduğu durumlara ayrıca kontrol edilmelidir

başlangıç değer problemini çözünüz.

Başlangıç değer probleminin çözümü

e^x dx - (1+e^x) y dy = 0 denkleminin (0,1) noktasından geçen integral eğrisini bulunuz

33 Ayrılabilen denkleme indirgenebilen denklemler

denklemi ax+by+c = z , z(x) dönüşümüyle olduğuna göre

şeklinde dönüşür, bu bir ayrılabilir denklemdir

3 Ayrılabilen denkleme indirgenebilen denklemler

y' = f(xy) Claude notu: aşağıdaki yx=u dönüşümüne göre muhtemelen y'=f(yx) olmalı. şeklindeki denklemlere homojen denklemler denir.

bu denklem yx = u , u(x) = u , dönüşümü ile ayrılabilir denk dönüştürülür.

ve bu eşitliği integrallersek çözüm elde ederiz