Weeks 1–3 – First-order differential equations

Diferansiyel Denklemler – 1.–3. Hafta – Birinci mertebeden diferansiyel denklemler

Notice: The digital notes were created from the handwritten notes with the help of Claude (Anthropic); they are meant as a supplementary resource and may contain errors. Always rely on the original notes and the official course materials.

What is in this note?

Section headings of the note (in Turkish):

2- Ayrılabilir denklemler

3- Ayrılabilen denkleme indirgenebilen denklemler

Aşağıdaki dönüşümler lazım olabilir

4- Homojen denklemler

Lineer Denklemler

Bernoulli Denklemi

Riccati Denklemi

Tam diferansiyelli denklem

İntegrasyon çarpanı

(3) Tam diferansiyelin ayrılması

Text of the note

Show as plain text (Turkish; formulas and drawings are not included)

3- Ayrılabilen denkleme indirgenebilen denklemler

dönüşümünde bir ayrılabilir denklemdir.

Aşağıdaki dönüşümler lazım olabilir

y' = f (yx) şeklindeki denklemlere homojen denklem denir.

bu denklem yx = u , u(x) = u , dönüşümü ile ayrılabilir denkleme dönüştürülür.

ve bu eşitliği integrallersek çözümünü elde ederiz.

denklemi 1. mertebeden lineer dif denklemi olarak adlandırılır

çarpanı ile çarparak denklem çözülür

soldaki ifade (y· I(x))' olur

1. adım ifadeyi y^-n ile çarpmak

2. adım z = y^1-n dönüşümünü yapmak

Bu lineer bir denklemdir

Bu denklemin bir özel çözümü y_1(x) biliniyorsa ancak çözülebilir

y = y_1 + z , z = z(x) dönüşümü ile denklem bernoulli denklemine dönüşür,

Tam diferansiyelli denklem

u(x,y) fonksiyonunun tam diferansiyeli

Eğer, u_x = M(x,y) , u_y = N(x,y) olacak şekilde bir u(x,y) fonksiyonu bulunabiliyorsa

(1) denklemine tam diferansiyelli denklem denir,

(1) denkleminin basit bağlantılı bir D bölgesinde tam diferansiyelli olması için

koşulunun sağlanması gerek ve yeterdir

M_y ve N_x D de süreklidir

kısaca işlem adımları şöyledir

M 'i integralleyerek u fonksiyonuna ulaşmaya çalışırız. integralleyince y 'ye bağlı bir hata

fonksiyonu ortaya çıkmaktadır. Bunu bulmak için u 'yu y 'ye göre türevini alırız sonra N 'e eşitleriz

oradan da tekrar integral alarak hata terimini tespit ederiz.

veya N 'den başlayarak işlemlere başlanılabilir o zaman hata fonksiyonu

Eğer μ M(x,y) dx + μ N(x,y) dy = 0 denklemini tam diferansiyelli denklem yapacak şekilde

bir μ 0 çarpanı bulunabiliyorsa ona integrasyon çarpanı denir.

yalnızca x 'e bağlı integrasyon çarpanı

yalnızca y 'ye bağlı integrasyon çarpanıClaude notu: aşağıdaki üsteki integral muhtemelen dy ile olmalı.

(3) Tam diferansiyelin ayrılması

Bazı tam diferansiyeller aşağıda veriliyor