Series, vectors and multivariable functions (pp. 1–20)

1) n. terim testi (nth term test) (Iraksaklık testi) (Limit Testi)

Paydanın derecesi > Payın derecesi ⇒ sonuç =0 , sonuç = derecesi belirleyen terimlerin katsayıları ,

2) Geometrik seri testi

toplama, çıkarma durumunda ifade olmamalıdır. /

5) Karşılaştırma Testleri (comparison tests)

Doğrudan Karşılaştırma Testi (5.1)

a_n<b_n ⇒ Σ b_n serisi yakınsak ise Σ a_n de yakınsak olur.

b_n<a_n ⇒ Σ b_n serisi ıraksak ise Σ a_n de ıraksak olur.

(5.2) Limit Karşılaştırma Testi

İki seri de yakınsaktır.

6) Oran Testi (ratio test)

barındıran serileri çok büyük ihtimalle çözer,

7) Kök Testi (Root Test)

değil ise seri yakınsak değildir, ıraksak da denemez.

Geo. Serilerin Top. Bulma

Mutlak Yakınsaklık ve Koşullu Yakınsaklık

(absolutely convergent and conditionally convergent)

Alterne seriler için konuşulan kavramlardır. eğer yakınsak çıkarsa mutlak yakınsak olur.

→ eğer ıraksak çıkarsa bu seri mutlak yakınsak değildir.

1. Koşul: Seri mutlak yakınsak değil ise

2. Koşul: Seri alterne seri testi ile yakınsak çıkarsa

Bu seriye koşullu yakınsak denir.

Alterne seri mutlak yakınsak ve koşullu yakınsak değilse bu seri ıraksak olur.

serisi mutlak yakınsaktır.

Bu seri mutlak yakınsak değildir. Koşullu yakınsaklığa bakalım.

Koşullu yakınsak değildir. Bu seri ıraksaktır.

Kuvvet Serileri (Power Series)

Seri içine (x-a)^n biçiminde x 'e bağlı üstlü bir ifadenin gelmesiyle kuvvet serileri oluşur.

'in hangi değerleri için yakınsak hangi değerleri için ıraksak olur?

→ yakınsaklık aralığı / yakınsaklık yarıçapı, yakınsaklık merkezi

→ fonksiyonların Taylor ve Maclaurin açılımlarını inceleyeceğiz. Taylor ve Maclaurin açılımları kuvvet serilerinin çıkışına neden oluyor.

Kuvvet Serilerinin Yakınsaklık Aralığı ve Yarıçapı (interval and radius of convergence)

x=-7 ve x=1 için yakınsaklık bu testle tespit edilemedi.

2. Adım: x=1 , x=-7 en baştaki kuvvet serisinde yerine konur.

3. Adım: Yakınsaklık aralığı → -7<x<1

Aralığa dahil değildir. Iraksaktır.

Taylor ve Maclaurin Seri Açılımları

sonsuz defa türevlenebilir. Bu nedenle Taylor ve Maclaurin seri açılımı elde edilebilir.

f(x) 'in x=x_0 seri açılımına TAYLOR

f(x) 'in x=0 seri açılımına MACLAURIN

f(x)= x Maclaurin açılımına göre ilk 5 terimini bulunuz.

3.Derece Taylor Polinomu → x^3 'üne kadar açılım yapılacak,

Taylor ve Maclaurin Serilerini Bulma

Taylor Seri Formülü

f(x)= sonsuz defa türevlenebilir, x=x_0 noktasında

Maclaurin Seri Formülü ⇒ x=0 da taylor seri formülü

f(x)=e^x x=4 nok. 2. dereceden taylor polinomunu bulunuz.

f(x)=1x x=2 nok. Taylor serisi

1/(1-x) ifadesinin Maclaurin Serisi ve Yerine Koyma Metodu

Yerine Koyma Metodu

11+x 'in maclaurin serisini, yakınsaklık aralığını bul.

e^x ifadesinin Mac. Ser. ve Y. Koyma Metodu

Yerine Koyma Metodu

∫ e^x^3dx integralini Mac. serisinin ilk 2 terimini kullanarak hesaplayınız.

f(x)=3x 6.derece Mac.ser. açılımı?

f(x)=(x^3) yak. aralığı ve yarıçapı?

Birim Vek. Olm. Vek. Bir. Vektör yapma

İç Çarpım (Dot Product or Scalar Product)

u· v veya u, v olarak gösterilir. Sonuç bir sayıdır.

İki Vektörün Diklik ve Paralellik Şartı

→ iki vektörün iç çarpımı 0 ise birbirlerine diktir.

vektörler birbirlerine paralel dir

İki Vektör Arasındaki Açıyı Bulma

Dik İzdüşüm Vektörünü Bulma

Dik izd. Vek. uzunluğu → a· b| b| (vektör kimin üzerine düşürüyorsa vek. )

Düzlemde Üçgen Alanını Vek. Yardımıyla Hesaplama

→ öncelikle köşe vek. AB=B-A , AC=C-A

İki Vektör Arasındaki Uzaklığı Bulma

Vektörel Çarpım (Cross Product)

→ A ve B'nin vektörel çarpımı, her iki vektöre de diktir!

Uzayda Üçgen Alanını Vektör Yardımıyla Bulma

Köşe Koordinatları Bilinen Dörtyüzlünün Hacmini Bulma (Volume of tetrahedron)

1. yol (Lineer Cebir):

Uzayda Paralelkenar Alanını Vek. Yard. ile Bulma

Uzayda Doğru Denklemi Yazma

Yazacağımız doğru üzerinde bir nokta ve doğruya paralel bir vektör gereklidir.

Parametrik doğru denklemi:

Düzlem Denk. Yazma

Düzlem üzerinde bir nokta.

Düzleme dik vektör.

u ve v 'nin vekt. çarp. düz. dik vekt. verir. !

Üçlü Vekt. Çarpım ve Uyg. (Triple Product)

→ iç çarpım ×→ vektörel çarpım

1. yol: b× c bulunur, a ile çarpılır.

üçlü çarpım bize bir prizmanın hacmini verir. Hacim =| a·( b× c)|

Eğer hacim 0 çıkarsa bu üç vektör ( a, b, c ) aynı düzlem üstündedir.

Geçtiği Üç Nokta Bilinen Düzlem Denk. Bulma

düz. dik bir normal vekt. verir.

Düz. üzer. herhangi bir nokt. kull. kontrol edilebilir.

İki Düzlem Arasındaki Açı

Uzayda Bir Nokt. Bir Doğ. Uzaklığı

1. adım: BA elde edilir.

Uzayda Bir Doğru İle Düzlem Arasındaki Açı

ÖR: Denk. düz. arası açı?

Bir Noktanın Bir Düzleme Olan Uzaklığı Bulma

Uzayda Doğru Birbirine Göre Durumları

Doğ. paralel ise Doğrultman vekt. de paraleldir

Doğ. dik ise Doğrultman vekt. de diktir.

Uzayda İki Doğru Arasındaki Açı

d_1 'in doğrultmanı (Paralel vektörü)

İki Düz. Birbirine Göre Durumları

İki düzlem paralel ise normalleri de paraleldir.

İki düzlem dik ise norm. de diktir.

Uzayda Bir Doğru ve Bir Düzlemin Birbirine Göre Durumları

1. Paralel → normal vekt. ile doğrultman vek. birbirine dik olur.

2. Dik → normal vek. ile doğrultman vek. birbirine paralel olur.

Bir Doğru İle Bir Düzlemin Kesişme Nokt. Bulma