Multivariable functions, multiple integrals (pp. 21–32)

TAYLOR DİFERANSİYEL YAKLAŞIMI İLE YAKLAŞIK DEĞER HESAPLAMA

Diferansiyel yakl. kullan. (2,06)^2+5·(0,97)^4 değerini yaklaşık olarak hesapla.

İKİ DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA YEREL MAKSİMUM VE YEREL MİNİMUM, EYER NOKTALARINI BULMA

f_x=0 f_y=0 çözümünü sağlayan (x,y) ikililerine kritik noktalar . Kritik noktalar yerel max, min, eyer noktası adaydır.

D(x_0,y_0)=0 ise başka tekniklere başvurulmalıdır.

f(x,y)=x^2+2xy fonks. nun yerel max, min ve eyer noktasını bulunuz.

2. adım: fonks. yerel min, max, eyer noktasını bul.

1. kapalı bölgesindeki alabileceği mutlak max ve min değerlerini bulunuz.

2. adım: Köşe koordinatları yoktur.

ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA KAPALI BİR BÖLGE İÇİN MUTLAK MAKSİMUM VE MİNİMUM BULMA

Girdileri sınırlanmış bir bölgede f(x,y) 'nin mutlak max/min aranır.

1. adım: Bizi sınırlayan bölgeyi çizmeli ve tüm sınır fonksiyonlarını belirlemeliyiz.

2. adım: Mutlak max ve min adaylarını belirleriz.

2.1 adım: Köşe koordinatları direkt adaylardır.

2.2 adım: Kritik noktalardan kapalı bölge içine düşenler adaydır.

2.3 adım: Sınır fonks. da krit. nokt. tespit edilir.

3. adım: Bütün adaylar f(x,y) 'ye konulur. Çıkan sonuçlardan en büyüğü mutlak max, en küçüğü mutlak min dir.

f(x,y)=2x+2y-x^2-y^2 fonks. nun x=0, x=2, y=0, y=2 doğruları tarafından sınırlanan bölgedeki mutlak max ve min değerleri = ?

Kritik noktalar adaydır. ( f(x,y) 'nin)

Köşe koordinatlarında buradaki ile aynı sahip olan vardır.

LAGRANGE ÇARPANI METODU

f(x,y) veya f(x,y,z) gibi çok değ. fonks. maks veya min bulma metodudur. Bu fonksiyonları sınırlayan bir denklem üzerinde,

1. adım: Bizi sınırlayan denklemi g(x,y) veya g(x,y,z) fonksiyonuna çevirmeliyiz.

2. adım: lagrange çarpanı

Bu eşitliği sağlayan durumları çözeriz.

3. adım: Bizi sınırlayan denkleme eşitliği sağl. durumları max ve min adayı nokt. bulucaz.

2. adım denkl. sağlayan nokt. daki max ve min = ?

Yüzey alanı 54 cm^2 olan dik dörtgenler prizması biçimindeki kutunun max hacme sahip olmasını sağlayan kenar uzunluklarını lagrange çarpanı yöntemi ile bul.

f(x,y,z) maksimum g(x,y,z) sınırlayan fonksiyon

Bizi sınırlayan fonks.: g(x,y,z)=xy+xz+yz-27

f(x,y)=4x^2+10y^2 fonks. x^2+y^2≤ 4 diski üzerindeki max ve min nokt. ve bu nokt. karşılık gelen değerler = ?

2. adım: İç bölgedeki max min aday

3. adım: şartlarını sağl. nokt. daki en büyük ve en küçük değerlerini bul. İki tane sınırlayan fonk. var.

2. adım: elipsi üzerindeki max ve min noktaları bul.

ÇİFT KATLI İNTEGRAL NEDİR VE NEYİ HESAPLAR?

* üst üste 2 defa integral alma işlemidir.

* 2 farklı değişkene göre integral alınır.

Sabit sayılı fonks. da olur 1 dx dy= Alan

f(x,y) dx dy= Hacim Hesapla.

SINIRLARI VERİLMİŞ Ç.K. İNTEGRALLERİ HESAPLAMA

integral alma sırası içerden dışa doğru gider.

dıştaki sınır daima sayılardan oluşur.

Ç.K. İNTEGRALDE SINIR BELİRLEME

2 çeşit vardır. Sınır belirlenmesi için ALAN verilir.

1. çeşit: Verilen alan DİKDÖRTGEN ise integralin iki sınırında SAYI olur.

2. çeşit: Verilen alan DİKDÖRTGEN değil ise integralin sınırlarından biri SAYI, diğeri ise FONKSİYON olur?

VERİLEN ALAN DİKDÖRTGEN İSE:

2 sınır da sayı olur.

_R (x+y) dA , R bölgesi x=2, x=5, y=3 ve y=4 doğruları ile sınırlanmaktadır. Bu integralin sonucu = ?

iki sınır da sayı iki sınır da sayı ise integral alma sırası direkt sınırların yerinin değiştirilmesi ile değiştirilebilir.

VERİLEN ALAN DİKDÖRTGEN DEĞİLSE:

1 sınır FONKSİYON sınırı fonk. nın sınırladığı bölgededir. Bu integralin sonucu?

Arada kalan alan dikdörtgen değil.

kesişme nokt. ekseni tarafından sınırlanmaktadır. İntegralin sınırları = ?

→ Dikdörtgen değil. → Fonks. sınırı y 'de → 0≤ y≤ x aşağıdan yukarı

Ç.K. İNTEGRALDE İNTEGRAL ALMA SIRASININ DEĞİŞTİRİLMESİ

integral alma sırasını değiştirerek integralini hesaplayınız.

* İntegrali hesaplanamayan Ç.K. int. de yapılır.

2. adım: sayı sınırları y 'ye 0≤ y≤π , fonksiyon sınırları x 'e 0≤ x≤ y soldan sağa

integrasyon sırasını değiştirerek hesaplayınız.

integral alma sırasını değiştirerek integralini hesaplayınız.

fonks. sınırı y 'ye ⇒ 0≤ y≤ x^3 aşağıdan yukarı

2. adım: trigonometrik ifadelerde fonks. değiştirirken ifade tersine çevrilir.

Ç.K. İNTEGRAL YARDIMI İLE ALAN HESAPLAMA

Tek katlı integral

Çift katlı integral

Ç.K. İNTEGRALDE ORTALAMA DEĞER HESAPLAMA

f(x,y) R bölgesine karşılık gelen f(x,y) değerlerinin ortalaması

(pay: f(x,y) ile R bölgesi arasındaki hacim; payda: R bölgesinin alanı)

R bölgesi dikdörtgen olursa:

f(x,y)=x+y fonks. dikdörtgensel bölgesindeki ortalama değer = ?

f(x,y)=x· y fonks. y=x^2 ve y=x eğrileri taraf. sınırlanan bölge için ort. değer = ?

KUTUPSAL KOORDİNATLAR NEDİR?

r orjine olan uzaklık

θ=x ekseni ile yapılan açı

Kartezyen ve kutupsal koordinatlar aynı noktayı bize farklı bir şekilde gösterir.

Kartezyen koor. → Kutupsal koor. geçiş

Kutupsaldan kartezyene dönüş:

KARTEZYEN DENKLEMLERİ KUTUPSAL DENKLEMLERE ÇEVİRME

Kartezyen Denklem Kutupsal DenklemClaude notu: sağdaki ifade aşağıdaki işlemle uyuşmuyor; muhtemelen rθ+rθ=5 olmalı.

e^2x=y kut. denklemine çevir.

KUT. DENK. KART. DENK. ÇEVİRME

KUTUPSAL KOORDİNATLARDA TÜREV