9. Hafta – Euler denklemleri, mertebenin indirgenmesi, seri çözümlerine giriş

Denklemde yerine yazarsak

t= x olduğundaClaude notu: aşağıdaki satırda muhtemelen y_1=(2 x) , y_2=(2 x) olmalı (çözümler y için).

x^3y'' - 2xy = -6 x denkleminin genel çözümünü bulunuz.

x>0 için x=e^t dönüşümü ile t= x

Homojen kısım için

Belirsiz katsayılar yöntemini kullanalım

(Notta daire içindeki e^-t 'den te^-t 'ye bir ok çizilmiş.)

genel çözüm bulunuz.

denklemi verilsin ve bu denklemin bir y_1=y_1(x) çözümü bilinsin. Bu durumda

dönüşümüyle u 'ya göre denklemde u'=v dönüşümüyle (5) denklem mertebesi bir düşüyor.

denklemine indirgeniyor. Bu denklemde

(x^2+1)y'' - 2xy' + 2y = 0 denkleminin bir çözümünün y_1(x)=x olduğu biliniyor. Genel çözümünü bulunuz.

Denklemde yerine yaz.

y=ux olduğundan çözüm

(1-2x^2)y'' + 2y' + 4y = 0 denkleminin çözümünün şeklinde bir polinom olduğu biliniyor. Genel çözümünü bulunuz.

Önce polinomun derecesini belirleyelim.

Diferansiyel Denklemlerin Seri Çözümleri

Bir I açık aralığında tanımlı, sonsuz mertebeden türevlenebilen bir f(x) fonksiyonu verilsin. Bir x_0 I noktası alalım.

fonksiyonunun x_0 noktasındaki Taylor serisi denir.

fonksiyonunun x=0 noktasında her mertebeden türevi vardır. ve f^n(0)=0 n ancak x=0 noktası civarında f(x) 'e eşit değildir.

Eğer x=x_0 noktasında f(x) fonksiyonunun Taylor serisi x_0 noktasının civarında yakınsaksa ve yakınsak olduğu

fonksiyon f(x) 'e eşitse, f(x) fonksiyonu x_0 noktasında analitiktir denir.

(Bu sayfa ders tahtasının fotoğrafı; tahtada yazılanlar:)

genel çözümünü bulunuz