12. hafta – DTFT, Laplace dönüşümü ve ROC

Ayrık zamanlı Fourier transformu (Dönüşümü)

(Discrete-time Fourier Transform)

FT, periyodik olmayan işaretler için tanımlıdır.

⇒ Ayrık zamanlı FT, X(e^jω) , 2π ile periyodiktir.

Claude notu: muhtemelen 11-ae^jω-1 olmalı.

x[n]= şeklinde verilen ayrık zamanlı dikdörtgen darbe işaretinin FT bulunuz.

Periyodik işaretlerin Fourier Transformu

Ayrık Zamanlı Fourier Transformunun Özellikleri

Periyodiklik: X(e^jω)=X(e^j(ω+2π)) , 2π ile periyodiktir.

Genlik spektrumu değişmez, faz spektrumu -ω n_0 kadar ötelenir.

H(e^jω)= ayrık zamanlı alçak geçiren filtrenin dürtü cevabını bulunuz.

tam sayı olunca 0'ı yani n eksenini keser

s herhangi bir complex sayı olabilir.

Laplace transformu, x(t)e^-σ t şeklinde x(t) işaretinin bir reel üstelle çarpımının F. Transformudur.

⇒ Yakınsaklık bölgesi (Region of converge, ROC): Laplace transform integralinin yakınsaklığı değer aralığına yakınsaklık bölgesi denir.

⇒ Aynı noktada tekrar eden s sayısına mertebe denir.

Paydada, s=-1 ve s=2 olmak üzere birinci mertebeden iki adet kutup ve paydaClaude notu: sıfır payda yer aldığı için muhtemelen ``pay'da'' olmalı. s=1 'de ikinci mertebeden bir adet sıfır vardır.

Not: Laplace transformun ROC'u jω eksenini kesmiyorsa Fourier transformu yakınsamaz.

13e^2tu(t) ifadesinin Fourier transformu yoktur.

Yakınsama bölgesi (ROC) özellikleri:

X(s) 'in ROC'u s -düzlemindeki jω eksenine paralel şeritlerden oluşur.

Rasyonel Laplace transform için, ROC herhangi bir kutup içermez.

x(t) sonlu süreli ve mutlak entegre edilebilir ise, ROC bütün s düzlemidir.

Re\=σ=0 iken s=jω olup ROC içinde kalır.

olur ve Re\>0 s düzlemi ROC içinde kalır

dur ve Re\<0 s düzlemi ROC içinde kalır.

3)'e göre ROC bütün s düzlemi

2)'e göre ROC kutup içermez, s=-a kutup var.

(orijinalde boş bırakılmış)

x(t) çift yanlı ve Re\=σ_0 doğrusu ROC'da ise, ROC, s düzleminde Re\=σ_0 doğrusunu içeren bir şeritten oluşur.

X(s) rasyonel ise, ROC, ya kutuplarla sınırlıdır yada sonsuza genişler ve kutup içermez.

x(t) sağ yanlı ise ROC, en sağdaki kutuların sağında kalan s düzlemidir

x(t) sol yanlı ise, ROC en soldaki kutuların solunda kalan s düzlemidir.