Olasılık teorisi, rastgele değişkenler ve prosesler

Olasılık teorisi, Rastgele Değişkenler ve Rastgele Prosesler

Deney (experiement): Zar atışı

Eşit olasılıklı sonuçlar için

Bir olayın olması için olaydaki tek bir sonucun olması yeterli.

Kesin olay (Certain event) =S → P(S)=1

İmkansız olay (Impossible event) = → P()=0

A'= a S, a A uzayın A dışındaki tüm elemanlar

Rastgele Değişken (RD)

x : X RD'nin belli bir değeri.

Olasılık Dağılım Fonksiyonu (ODF)

Cumulative Distribution function - CDF

Azalmayan fonksiyon (Nondecreasing function)

Olasılık Yoğunluk Fonk. (OYF)

Probability Density Function (PDF)

Bir rastgele değişkenin belli bir bölgede olmasının olasılığını, altında kalan alanla gösteren fonksiyona denir.

azalmayan fonksiyonun türevi pozitiftir

Düzgün Dağılım (Uniform distribution)

Normal Dağılım (Gauss)

μ_X : ortalama değer (mean)

Standart Gauss Dağılımı

Beklenen Değer (Expectation)

X'in beklenen değeri (ortalaması)

e^ω x olduğunda moment üreten fonksiyon deniyor

Moment üreten fonk (MÜF):

Örnek: Düzgün dağılım

Rastgele Prosesler (Random, stochastic)

örnek fonksiyonlar topluluğu.

RP'in özilişki (auto correlation) fonk

– Sıkı Stasyoner (SS) : Bütün momentler zamana bağlı değil

Strict sense stationary (SSS)

– Gevşek Stasyoner (GS) : ilk 2 moment zamana bağlı değil

Wide sense stationary (WSS)

Bir RP aşağıdaki şartları sağlıyorsa GS'dir

Process SS ⇒ GS

Gauss RP sağlar

Haberleşme sistemlerinde GS önemli:

R_X(0)≥|R_X(τ)| complex sayılar için

Rastgele Processler Güç işaretleridir burda istatistiksel ortalama alınıyor

GYF güç yoğunluk fonksiyonu

RP Güç işareti → GYF, S_X(f)

Prosesin ortalama gücü

Reel değerli X(t) RP için S_X(-f)=S_X(f)

Beyaz Gürültü RP

(White Noise RP)

Gerçekte gücü sonsuz güce sahip işaret yok

Bütün frekanslarda olduğu için Beyaz gürültü denir.

Alıcı alırken z pozitif mi negatif mi diye bakıyor

s(t) pozitifken z(t) 'nin negatif olma olasılığını

bulup toplayıp ikiye bölerek yapıyor

İşaretler ve Sistemler

(-T/2, T/2) arasında harcanan enerji