Differential Equations · Digital lecture note
Week 14 Recitation – Repeated eigenvalues and systems
Diferansiyel Denklemler – 14. Hafta Uygulama – Katlı özdeğerler ve sistemler
- Course
- Differential Equations (MAT215)
- Semester
- Semester 3 · Fall 2022–23
- Format
- PDF · 5 pages · 0.1 MB · handwriting-style LaTeX
- Language
- Turkish
- Original note
- dif15.pdf
Open the PDF (0.1 MB)LaTeX source (.tex)Original handwritten note
What is in this note?
Section headings of the note (in Turkish):
- Hatırlatma
- Alıştırmalar
Text of the note
Show as plain text (Turkish; formulas and drawings are not included)
Bu bölümde λ özdeğerlerinin katlı olduğu durumu inceleyeceğiz. λ_0 nın Δ(λ) karakteristik denklemindeki kök sayısına ``cebirsel katı'' denir. sayısına ``geometrik katı'' denir. Her zaman n-r ≤ p dir.
n-r = p olduğu durumda λ_0 özdeğerine n-r sayıda lineer bağımsız özvektör karşılık gelir.
n-r < p olduğu durumda defekt m = p-(n-r) olur ve λ_0 özdeğerine karşılık gelen genel çözüm
Homojen olmayan lineer diferansiyel denklem sistemlerini sabitlerin varyasyonu yöntemi ile çözebiliriz.
Öncelikle Δ(λ) determinantından özdeğer ve özvektörleri bulalım.
# λ_2,3 = 2 katlı kök olduğu için matrisin rankına bakmalıyız.
Bu durumda, n-r=p old.dan defekt yoktur ve λ=2 özdeğerine karşılık gelen 2 lineer bağımsız özvektör vardır.
Bu durumda, genel çözüm,
Öncelikle Δ(λ) determinantından özdeğer ve özvektörleri bulalım.
# λ_1,2,3 = 2 katlı kök olduğu için matrisin rankına bakmalıyız.
şeklinde olur. Şimdi denklemde yerine yazalım.
Şimdi her tarafı e^2t ye bölelim.
Bu durumda, genel çözüm,
Öncelikle homojen sistemin çözümünü bulalım.
Bu durumda, homojen sistemin genel çözümü,
bulunur. Şimdi, sabitlerin varyasyonu yöntemini kullanalım.
Denklemde yerine yazalım.
Bu durumda, genel çözüm
Şimdi, x(0)=9 ve y(0)=4 koşulunu sağlayan çözümü bulalım:
Bu durumda, özel çözüm