Diferansiyel Denklemler · Dijital ders notu
14. Hafta Uygulama – Katlı özdeğerler ve sistemler
- Ders
- Diferansiyel Denklemler (MAT215)
- Dönem
- 3. Dönem · 2022–2023 Güz
- Biçim
- PDF · 5 sayfa · 0,1 MB · el yazısı görünümlü LaTeX
- Orijinal not
- dif15.pdf
The digital notes were created from the handwritten notes with the help of Claude (Anthropic); they are meant as a supplementary resource and may contain errors. Always rely on the original notes and the official course materials.
Bu notta neler var?
- Hatırlatma
- Alıştırmalar
Notun metni
Düz metin olarak göster (formüller ve çizimler yoktur)
Bu bölümde λ özdeğerlerinin katlı olduğu durumu inceleyeceğiz. λ_0 nın Δ(λ) karakteristik denklemindeki kök sayısına ``cebirsel katı'' denir. sayısına ``geometrik katı'' denir. Her zaman n-r ≤ p dir.
n-r = p olduğu durumda λ_0 özdeğerine n-r sayıda lineer bağımsız özvektör karşılık gelir.
n-r < p olduğu durumda defekt m = p-(n-r) olur ve λ_0 özdeğerine karşılık gelen genel çözüm
Homojen olmayan lineer diferansiyel denklem sistemlerini sabitlerin varyasyonu yöntemi ile çözebiliriz.
Öncelikle Δ(λ) determinantından özdeğer ve özvektörleri bulalım.
# λ_2,3 = 2 katlı kök olduğu için matrisin rankına bakmalıyız.
Bu durumda, n-r=p old.dan defekt yoktur ve λ=2 özdeğerine karşılık gelen 2 lineer bağımsız özvektör vardır.
Bu durumda, genel çözüm,
Öncelikle Δ(λ) determinantından özdeğer ve özvektörleri bulalım.
# λ_1,2,3 = 2 katlı kök olduğu için matrisin rankına bakmalıyız.
şeklinde olur. Şimdi denklemde yerine yazalım.
Şimdi her tarafı e^2t ye bölelim.
Bu durumda, genel çözüm,
Öncelikle homojen sistemin çözümünü bulalım.
Bu durumda, homojen sistemin genel çözümü,
bulunur. Şimdi, sabitlerin varyasyonu yöntemini kullanalım.
Denklemde yerine yazalım.
Bu durumda, genel çözüm
Şimdi, x(0)=9 ve y(0)=4 koşulunu sağlayan çözümü bulalım:
Bu durumda, özel çözüm