Lecture 2 – Single-variable functions and root-finding methods

Tek değişkenli fonksiyonlar ve kök bulma yöntemleri

f(x)=0 denkleminin tek kökünün mevcut olduğunu gösteriniz

İkiye bölme yöntemiyle 3 iterasyon ilerletiniz

iterasyonları, f(x)=0 denkleminin köküne yaklaşır ve bu yaklaşımın mutlak hatası

10^-3 düzeyde doğrulukla kökü kaç iterasyonda bulunur

Sabit nokta (fixed point iteration)

olacak biçimde bir p[a,b] sayısı bulunuyorsa p 'ye g(x) fonksiyonun sabit noktası denir.

Bir p_0[a,b] sayısı alalım başlangıç iterasyonu olarak

Böyle bir p_n dizisine sabit nokta iterasyonu denir.

g(x)=x2-14x+1 p_0=1 olmak üzere sabit nokta iterasyon ile p_2 'yi bulunuz.

Eğer her x[a,b] için g(x)[a,b] oluyorsa g fonksiyonun [a,b] 'de en az bir adet

sabit noktası vardır

1) ve 2) Eğer g fonksiyonun (a,b) aralığında türevi varsa ve her x(a,b) için

|g'(x)|≤ k olacak şekilde bir 0<k<1 bir k bulunabiliyorsa o halde, g fonksiyonun [a,b]

aralığında sabit noktası tektir.

SNİ g fonksiyonunun p[a,b] sabit noktasına yakınsak olur.

p_n=g(p_n-1) SNİ için ortalama değer teoremi uygulanırsa

[1,2] 'de verilmiş g(x)=x2-14x+1 fonksiyonun sabit noktasının tek olduğunu

Teorem 2'nin koşulları sağlandığında p_n SNİ'nin p sabit noktasına yaklaşımındaki hata

Soru |p_n-p|≤10^-4 olması için ne gerekiyor?

yani sağlayan n=33 'tür

[0,1] aralığında f(x)=x-(π x) fonksiyonu verilsin

ikiye bölme yöntemi (bisection) uygulayarak p_3 iterasyonunu hesaplayınız

yaklaşık çözümün doğruluğunu 10^-2 olacak şekilde, iterasyon sayısını belirleyiniz

denkleminin bir p(0,1) kökü vardır.

``bisection root finder'' root calculator

[0,2π] aralığında fonksiyonu veriliyor

g(x) 'in en az bir sabit noktası olduğunu gösterin

Bu sabit noktanın tek olduğunu gösterin

p_0=π olarak hatanın 10^-2 olacak şekilde gereken iterasyon sayısını belirleyiniz

Bu sayıya göre iterasyonu bulun

en az bir sabit nokta vardır

b) aralığında olduğunda bu sabit nokta tektir.