Lecture 3 – Root-finding methods (continued): Newton, secant and error analysis

Kök bulma yöntemleri – devamı

Newton (Newton-Raphson) yöntemi

f:[a,b]→R için f(x)=0 , x=p kökünü sayısal olarak bulalım

lineer taylor polinomu =

p_0=π2 alıp sabit nokta iterasyonuyla p_6 'yı

δ>0 vardır ki, Newton iterasyonu her p_0[p-δ, p+δ] başlangıç iterasyonu için

p_0 ve p_1 başlangıç iterasyonlarına gereksinim duyuyor!

İterasyon yöntemlerinde Hata analizi

p_n , n=1,2,3,… dizisi p_n≠ p olacak biçimde p 'ye yakınsak bir dizi olsun. Eğer;

olacak şekilde λ ve α sayıları bulunabiliyorsa; p_n , n=1,2,3 , dizisi

``asimtotik hata sabiti λ olacak biçimde p sayısına α 'ıncı dereceden yakınsaktır.''

iterasyonu p[a,b] sabit noktasına lineer yakınsar.

ortalama değer teoremi ⇒ =g'(_n) (p_n-p)

p sayısı x=g(x) denkleminin çözümü olsun. Ayrıca g'(p)=0 ve p 'yi içeren bir I aralığında

sürekli g'' türevi mevcut olsun öyleki |g''(x)|<M sağlansın. Bu durumda öyle bir δ>0 sayısı

mevcut olurki, her p_0[p-δ, p+δ] başlangıç iterasyonu için p_n=g(p_n-1)

iterasyonu p 'ye quadratik yakınsak. Ayrıca keyfi büyük n sayılar için,

f(p)=0 ve f'(p)≠0 oldukça newton iterasyonu enaz kuadratik yakınsak.

p sayısı f(x) 'in m katlı sıfırıdır

x=0 sayısı f(x)=x^3-x^4 fonksiyonunun 3 katlı sıfırıdır

x=0 'ın f(x) 'in 2 katlı sıfırı olduğunu göst.

p_0=1 alarak, Newton yöntemi gereği oluşturulan iterasyon yakınsaktır fakat kuvadratik

p_0=-1 alınarak ve Newton yöntemi kullanarak p_2 'yi hesaplayın. p_0=0 olabilir mi?

b) p_0=-1 , p_1=0 alınarak sekant yöntemi kullanarak p_3 'ü hesaplayınız