Week 11 – Iterative methods for systems of linear equations

denklem sistemini inceleyelim. Bu denklem sisteminin açık şekli

olur. Kolayca görüldüğü üzere her λ sayısı için x=0 bu sistemin çözümü olur. Bu çözüme

aşikar (trivial) çözüm denir. Maksat bu denklem sisteminin trivial olmayan

λ parametresinin, bu sistemin trivial olmayan çözümlerini temin eden değerlerine

özdeğerler, trivial olmayan çözümlere ise özvektörler denir.

Kolayca görüldüğü üzere, eğer (A-λ I_n)≠ 0 olursa sistemin tek x=0 trivial çözümü olur.

Demek ki trivial olmayan çözüme λ 'nın (A-λ I_n)=0 yapan değerleri ile ulaşabiliriz.

polinomu dersek, bu polinomun sıfırlarına A matrisinin özdeğerleri denir:

denklemlerinin çözümleri A matrisinin özdeğerleridir.

Eğer λ sayısı A matrisinin bir özdeğeri ise

sisteminin trivial olmayan ( x≠ 0 ) çözümleri bu özdeğere karşı gelen özvektörler olur.

Böylece n× n boyutlu A=[a_ij] matrisinin özdeğer ve özfonksiyonlarını aşağıdaki aşamalarla bulabiliriz:

(A-λ I)=0 denklemini çözerek, A matrisinin λ özdeğerleri bulunur;

denklem sistemini çözmekle, λ özdeğerine karşı gelen x≠ 0 özvektörleri bulunur;

Aşağıdaki matrislerin özdeğer ve özvektörlerini bulunuz

A matrisinin iki λ_1=i ve λ_2=-i özdeğerleri vardır.

Böylece, λ_1=i özdeğerine karşı gelen özvektör 'dir

λ_2=-i özdeğerine karşı gelen özvektör 'dir

A matrisinin birisi iki katlı olmakla 2 sayıda λ_1,2=2, λ_3=3 özdeğeri vardır.

λ_1,2 =2 özdeğerine karşı gelen lineer bağımsız iki tane özvektör

λ_3=3 özdeğerine karşı gelen özvektör 'dir.

sayısına A matrisinin spektral yarıçap (radius) denir.

Örneğin a) A= matrisinin özdeğerleri

λ_1=i ve λ_2=-i olduğuna göre

olduğuna göre |λ_1,2|=2 ve |λ_3|=3 olduğuna göre Spektral yarıçap

n× n boyutlu A=[a_ij] matrisi için

[A^k]_ij ile A^k matrisinin i . satır ve j . sütun elemanını işaretleyelim.

olursa, diyorlar ki, A matrisi yakınsak matristir

A= matrisinin yakınsak matris olduğunu gösteriniz.

A matrisinin yakınsak olması, onun spektral yarıçapının

r(A)<1 olması ile gerek ve yeterdir.

Lineer Cebri Denklem sistemi için Jacobi iterasyon yöntemi.

n× n boyutlu A=[a_ij] matrisi verilsin, öyle ki, a_ii≠ 0 olsun.

denklem sisteminin çözümü için (iteratif) yöntem verelim.

1. denklemin her tarafına a_11 , 2. denklemin her tarafına a_22 ve s. n . denklemin her tarafına a_nn 'le bölürsek

Şeklinde veya kısaca

denklem sistemini elde ederiz.

Başlangıç iterasyon olarak

alırsak (veya x^(0) olarak keyfi bir vektör de alınabilir)

Şeklinde iterasyon belirleyebiliriz. Bu iterasyona Jacobi iterasyonu denir. k iterasyon adımıdır.

denklem sistemi için x^0=0 olmakla Jacobi iterasyon yöntemi uygulayarak ilk 2 iterasyonu bulunuz

1. denklemi 3 ile, 2. denklemi 6 ile ve 3. denklemi 7 ile bölerek sistemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz

Şimdi Jacobi iterasyonunu belirleyelim:

Şimdi Jacobi iterasyon formülünü matris-vektör şeklinde verelim. Bunun için A matrisini

Şeklinde yazalım. Bu durumda

olur. a_ii≠ 0, i=1,…,n olduğuna göre D≠ 0 olur ve demek ki, tersi vardır: Her tarafı D^-1 'le çarparsak

Başlangıç iterasyon olarak x^0=0 alırsak, bu denklem üzerinden

Şeklinde iterasyon belirleyebiliriz.

T_J matrisine Jacobi matrisi denir.

Örneğin bir önceki örnekteki

Aşağıdaki matrislerin özdeğer ve özfonksiyonlarını bulunuz:

Ayrıca bu matrislerin spektral yarıçaplarını hesaplayınız.

Sistemini x^(0)=0 olmakla Jacobi iterasyonu kullanarak ilk iki iterasyonunu bulunuz. Jacobi matrisini bulunuz.