9. Hafta Uygulama – Cauchy–Euler denklemi ve mertebe indirgeme

olmalı. şeklinde değişken katsayılı denkleme ``Cauchy-Euler denklemi'' denir, burada a_0, a_1, …, a_n sabitlerdir. Bu denklemi çözmek için x>0 olduğunda x = e^t ( x<0 olduğunda ise x = -e^t ) dönüşümü yapmamız gerekiyor. Bu dönüşüm sayesinde, denklem sabit katsayılı bir denkleme dönüşür ki, bu denklemin de karakteristik denklemi

olur. Bu denklemi elde etmenin basit yolu y = x^k dönüşümü yapmaktır.

Yüksek mertebeli değişken katsayılı denklemlerde bir diğer çözüm yöntemi mertebelerin indirgenmesi yöntemidir.

denklemi verilsin ve bu denklemin bir y_1 = y_p(x) çözümü bilinsin. Bu durumda, `` y = u· y_1 ; u = u(x) '' dönüşümüyle ve daha sonraki adımda u' = v dönüşümüyle denklemin mertebesi düşer. Böylece (n-1) . mertebeden denklem elde edilir.

Bu denklem bir Cauchy-Euler denklemidir. Bu durumda, x>0 kabul edelim ve x = e^t dönüşümü yapalım. Bu dönüşüm sayesinde elde edeceğimiz sabit katsayılı denklemin karakteristik denklemi,

elde edilir. O halde, (t= x)x = e^t dönüşümünden sonra elde edilen sabit katsayılı denklem y_t'' + y_t = 4 t şeklinde olmalıdır. Şimdi, bu denklemin çözümünü bulalım.

O halde, özel çözüm y_p(t) = -2t t bulunur. Bu durumda genel çözüm

olacağından t = x dönüşümü yapılarak

Bu denklem bir Cauchy-Euler denklemidir. Bu durumda, x>0 kabul edelim ve x = e^t dönüşümü yapalım. Bu dönüşüm sayesinde elde edeceğimiz sabit katsayılı denklemin karakteristik denklemi,

elde edilir. O halde, x = e^t (t = x) dönüşümünden sonra elde edilen sabit katsayılı denklem y_t'' - 5y_t' + 4y_t = 4e^2t - 6e^3t şeklinde olmalıdır.

Şimdi, bu denklemin çözümünü bulalım.

Bu durumda, genel çözüm

olacağından t = x dönüşümü yapılarak

verilmiş bir çözümü olsun. Genel çözümü bulunuz.

Denklemde yerine yazarsak,

Şimdi; u' = v dönüşümü yapalım.

o.ü. integrasyon çarpanı hesaplanır.

integrasyon çarpanı ile çarparsak,

verilmiş bir çözümü olsun. Mertebe düşürerek genel çözümü bulunuz.

y = ux Claude notu: muhtemelen y = ue^2x olmalı (sonraki satırda öyle kullanılmış). ; u = u(x) dönüşümü yapalım.

Denklemde yerine yazarsak,

Şimdi, u' = v dönüşümü yapalım.

Lineer denklemin her tarafını e^2x+1(2x+1)^-1 ile çarpalım