1. Hafta Uygulama (2. ders) – Ayrılabilir ve homojen denklemler

x bağımsız değişken, y = y(x) ona bağlı fonksiyon ve bu fonksiyonun y', y'', …, y^(n) türevleri arasındaki

şeklindeki ilişkiye `` n . mertebeden adi diferansiyel denklem'' denir.

Eğer F fonksiyonu y ve onun y', y'', …, y^(n) türevlerine göre lineer olursa bu durumda denkleme ``lineer adi diferansiyel denklem'' denir.

Ayrılabilir denklemler: y' = f_1(x)· f_2(y) şeklinde veya

şeklindeki denklemlere ``değişkenlerine ayrılabilir denklem'' denir.

Bu durumda, M_2(y)· N_1(x) ≠ 0 olursa, denklemi bu çarpana bölüp, integral alınırsa diferansiyel denklemin genel çözümü elde edilmiş olur. Tabi, bu durumda M_2(y)· N_1(x) = 0 durumu için çözüm kaybolabilir. O yüzden bu durumu ayrı incelemek gerekir.

Ayrılabilir denklemlere indirgenebilir denklemler: iki tip denklem vardır.

(a) y' = f(ax+by+c) ⇒ z = ax+by+c dönüşümü yapılarak integral alınır.

(b) Homojen denklemler: dönüşümü yapılarak integral alınır.

Aşağıda verilen diferansiyel denklemlerin türlerini mertebelerine göre belirleyiniz

dydx + x^2y = xe^2 → 1. mertebeden lineer denklem

4. mertebeden lineer olmayan denklem

6. mertebeden lineer olmayan denklem

3. mertebeden lineer denklem

x^3 + 3xy^2 = 1 fonksiyonunun 0<x<1 aralığında diferansiyel denkleminin bir kapalı çözümü olduğunu gösteriniz.

x^3 + 3xy^2 = 1 ifadesinin x e göre türevini alalım.

sağlandığından verilen kapalı form diferansiyel denklemin bir çözümüdür.

f(x) = e^mx fonksiyonunun diferansiyel denkleminin bir çözümü olması için m nin alacağı değerler nedir?

elde edilir. O halde diferansiyel denklemin çözümleri y = e^2x, e^-2x, e^3x şeklindedir.

5x^2y^2 - 2x^3y^2 = 1 fonksiyonunun aralığında denklemin çözümü olduğunu gösteriniz.

ifadesini diferansiyel denklemde yerine yazalım:

elde edilir. Böylece çözüm olduğu gösterilmiş olur.

f(x) = 11+x^2 nin diferansiyel denkleminin çözümü olduğunu gösteriniz.

ifadelerini diferansiyel denklemde yerine koyarsak,

olduğundan verilen f(x) fonksiyonu diferansiyel denklemin bir çözümüdür.

Aşağıda verilen diferansiyel denklemleri çözünüz.

Şimdi, kaybolma ihtimali olan çözümlere bakalım:

yazarak elde edebiliriz.

O halde, çözüm ailesi

(b) cosecy· x ≠ 0 olmak üzere

Şimdi, kaybolma ihtimali olan çözümlere bakalım.

O halde, çözüm ailesi

Şimdi, kaybolma ihtimali olan çözümlere bakalım.

O halde, çözüm ailesi,

Aşağıdaki başlangıç-değer (Cauchy) problemlerini çözünüz.

Şimdi, kaybolma ihtimali olan çözümlere bakalım.

O halde, çözüm ailesi

şeklindedir. Şimdi, y(-3) = -1 koşulunu sağlayan çözümü bulalım.

(b) koşulunu sağlayan çözümü bulalım.

Şimdi, y(1) = 2 koşulunu sağlayan çözümü bulalım.

Aşağıdaki diferansiyel denklemleri çözünüz.

Kaybolan çözümler: koşulunu sağlayan çözümü bulalım.