Uygulama 1. ders (ek ders) – Eğri aileleri ve ayrılabilir denklemler

y = f(x) fonksiyonu x değişkeni ve bu fonksiyonun sınırlı sayıda türevleri ile oluşmuş denkleme n . mertebeli adi türevli diferansiyel denklem denir ve aşağıdaki şekilde ifade edilir:

Diferansiyel denklemlerin bazı kullanım alanları şu şekildedir:

Mermi, roket, uydu veya gezegenin hareketini belirleme

Bir elektrik devresindeki yükün veya akımın belirlenmesi

Kimyasal reaksiyon üzerine çalışmalarda

Newton'un ikinci kanununu kullanarak düz bir çizgi boyunca F kuvvetinin etkisi altında hareket eden m kütleli bir cismin konumunu belirleyen denklemi elde ediniz.

Hız ve ivme tanımının V = dxdt , a = dVdt = d^2xdt^2 olduğunu biliyoruz.

Newton'un ikinci yasası bize şunu söyler: F(t) = m· a(t)

Aşağıda verilen eğri ailelerinin diferansiyel denklemlerini bulun.

(a) sabitini bulmuş oluruz.

Aşağıda verilen diferansiyel denklemleri çözünüz.

(a) diferansiyel denkleminin bir çözümü olduğunu gösteriniz.

Bu durumda, özel çözüm bulunur.

NOT: Verilen bir eğri ailesinin ortogonal (dik) yörüngeleri nasıl bulunur?

Birbirini 90^° açıyla kesen doğrulara birbirinin ortogonalidir denir. Bu nedenle doğrulardan birinin eğimi m ise buna ortogonal olan diğerinin eğimi -1m olacaktır. Tanımı genişletecek olursak, örneğin bir xy -düzlemindeki F(x,y) = c eğri ailesinin her bir ailesi, aynı düzlemdeki G(x,y) = K eğri ailesinin her bir eğrisini dik olarak kesiyorsa, bu eğriler birbirinin ortogonalidir. Verilen bir eğri ailesine dik olan eğri ailesini bulmak için şu adımlar izlenmelidir:

Verilen ifadenin (F(x,y) = c) x e göre türevi alınıp dydx oluşturulur

Bu iki denklemden ( F(x,y) = c ve bunun türevini veren denklem) C yok edilir

İkinci denklemde dydx yerine -dxdy alınarak elde edilecek diferansiyel denklem çözülür.

y = cx^4 eğri ailesinin ortogonal yörüngesini bulunuz.

3. adım: eğri ailesinin ortogonal yörüngesini bulunuz.

2. adım: Türevi veren denklemde c sabiti yok

NOT: Verilen bir eğri ailesinin eğik yörüngeleri nasıl bulunur?

Bir f eğri ailesi ile θ açısı yapan bir g eğri ailesinin denklemini bulalım. f ve g ailelerinin herhangi iki eğrisinin kesiştiği nokta M(x,y) olsun. f ye ait eğrinin M noktasındaki teğeti x eksenini β açısı ile kesişsin. g eğri ailesine ait eğrinin M noktasındaki teğetinin x eksenini α açısı ile kestiğini varsayalım.