13. hafta – Laplace dönüşümü, ROC, ters Laplace

Ters Laplace Transform:

Laplace Transformun özellikleri

ROC ile LTI sistemlerinin özelliklerinin analizi

Nedensellik: h(t)=0 , t<0 sağ yanlı → ROC sağ yanlı

kararlılık: eksenini içermelidir.

ROC sağ yanlı olduğundan nedenseldir !

jω 'yi kesmektedir onun için kararlı!

→ Yakınsama bölgesi (region of convergence): z-transform toplamının yakınsadığı z değer aralığıdır.

Not: z-transformun ROC'u birim çemberi içerirse Fourier transformu yakınsar.

X(z) 'in ROC'u birim çemberi içermediğinden, x[n] 'in Fourier Transformu yoktur.

Yakınsaklık bölgesi (ROC) özellikleri

X(z) 'nin ROC'u z düzleminde

ROC, herhangi bir kutup içermez

x[n] sonlu süreli ise, ROC, olası z=0 ve/veya z=∞ değerleri dışında bütün z-düzlemidir.

içeren bütün z düzlemidir)

z=0 'da bir kutup var

ROC, z=∞ içeren, z=0 dışında bütün z düzlemidir.

z=∞ 'da bir kutup vardır

ROC, z=0 içeren, z=∞ dışında bütün z düzlemidir.

x[n] sağ yanlı ve |z|=r_0 çemberi ROC'da ise, |z|>r_0 sağlayan sonlu bütün z değerleri de ROC'dadır.

x[n] sol yanlı ve |z|=r_0 çemberi ROC'da ise, 0<|z|<r_0 sağlayan bütün z değerleri de ROC'da olur

x[n] iki yanlı ve |z|=r_0 çemberi ROC'da ise, ROC, z-düzleminde |z|=r_0 çemberini içeren bir halkadır

X(z) rasyonel ise, ROC, ya kutuplarla sınırlıdır ya da sonsuza genişler ve kutup içermez

x[n] sağ yanlı ise, ROC, en dışındaki kutupların dışındaki z düzlemidir.

x[n] sol yanlı ise, ROC, en içerdeki sıfırdan farklı kutupların içindeki z düzlemidir.