Lecture 3 – Fourier series expansions and spectrum

Genelleştirilmiş Fourier Serisi Açılımı

The signals the signals are orthonormal.

Herhangi bir x(t) işaretinin bu N ortogonal (dik) işaret ile yaklaşımını elde edelim

Eğer yaklaşımın katsayıları

olarak seçilirse hatanın enerjisi minimum olur.

Ortagonal işaret kümesi tam (complete) ise hatanın enerjisi sıfıra gider ve yaklaşıklık eşitlik olur.

Genelleştirilmiş F.S açılımı (Generalized FS expansion)

Eğer yaklaşımın katsayıları

olarak seçilirse hatanın enerjisi minimum olur.

Ortogonal işaret kümesi tam (complete) ise hatanın enerjisi sıfıra gider ve yaklaşıklık eşitlik olur:

Genelleştirilmiş FS açılımı (Generalized FS expansion)

( x(t) işaret ailesi için N→∞ E_e→ 0 ise işaret ailesi içindeki bütün işaretleri bu temel fonksiyonlar ile ifade etmek mümkündür.)

Trigonometrik FS açılımı

F. Serisinin mevcut olma şartları:

1) x(t) bir periyoda boyunca mutlak integrali alınabilir olmalıdır:

(fourier serisi vardır, her noktada yakınsamaya bilir) Zayıf (weak) Dirichlet şartı

2) x(t) 'nin bir periyodunda sonlu sayıda maksimumu, minimumu ve süreksizliği vardır. Kuvvetli (strong) Dirichlet şartları

İkisi sağlanıyorsa fourier serisi açılımı vardır.

Laboratuvarda üretilen işaretlerin fourier açılımı vardır

Compact FS Expansion

Üstel FS Expansion

(Complex/Exponential FS expansion)

Find compact FS expansion of x(t)

(Unipolar square wave)

Tek kutuplu kare dalgası

Ödev olarak ispatlayınız

Bipolar square wave (Çift kutuplu kare dalga)

Dürtü treni (Impulse train)

Üstel FS açılımı